Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ , cạnh đáy bằng $a$ , chiều cao bằng $2 a$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $B^{'}$ và vuông góc với $A^{'} C$ chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là $V_{1}$ và $V_{2}$ với $V_{1} < V_{2}$ . Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

\frac{1}{11}

\frac{1}{23}

\frac{1}{47}

\frac{1}{7}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

H

là trung điểm của

A^{'} C^{'}

suy ra

B^{'} H ⊥ A^{'} C^{'}

, do đó

B^{'} H ⊥ A^{'} C

, vì vậy

B^{'} H \subset (P)

. Từ

H

ta kẻ đường vuông góc với

A^{'} C

tại

I

, cắt

AA^{'}

tại

M

, khi đó giao tuyến của

(P)

và

(A C C^{'} A^{'})

là

M H

, giao tuyến của

(P)

và

(A B B^{'} A^{'})

là

M B^{'}

. Ta có

V_{1} = V_{M . A^{'} B^{'} H}

V_{2} = V_{A B C M B^{'} H C^{'}}

.
Tam giác

O H A^{'}

vuông tại

H

nên ta có

\frac{1}{I H^{2}} = \frac{1}{A^{'} H} + \frac{1}{H O^{2}}

= \frac{4}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}}

= \frac{5}{a^{2}}

suy ra

I H = \frac{a \sqrt{5}}{5}

, từ đó ta có

I O = \sqrt{H O^{2} - I H^{2}}

= \frac{2 a \sqrt{5}}{5}

mà

A^{'} O = \sqrt{A^{'} H^{2} + H O^{2}}

= \frac{a \sqrt{5}}{2}

suy ra

A^{'} I = A^{'} O - I O

= \frac{a \sqrt{5}}{2} - \frac{2 a \sqrt{5}}{5}

= \frac{a \sqrt{5}}{10}

. Xét hai tam giác

O I H

và tam giác

A^{'} I M

là hai tam giác đồng dạng nên ta có

\frac{M A^{'}}{O H} = \frac{A^{'} I}{O I} = \frac{1}{4}

\Rightarrow M A^{'} = \frac{O H}{4} = \frac{a}{4}

. Ta có diện tích tam giác

A^{'} B^{'} H

bằng

\frac{S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}

suy ra

V_{1} = V_{M . A^{'} B^{'} H}

= \frac{1}{3} . M A^{'} . S_{Δ A^{'} B^{'} H}

= \frac{1}{3} . \frac{a}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}

= \frac{a^{3} \sqrt{3}}{96}

. Từ đó ta có

V_{2} = V_{A B C M B^{'} H C^{'}}

= V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{1} = 2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{96}

= \frac{47 a^{3} \sqrt{3}}{96}

.
Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}}

= \frac{a^{3} \sqrt{3}}{96} : \frac{47 a^{3} \sqrt{3}}{96}

\frac{1}{47}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi