Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $\sqrt{3}$ . Trong tất cả các khối trụ nội tiếp mặt cầu $(S)$ , khối trụ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

\frac{3 π \sqrt{3}}{2}

4 π

3 π

\frac{4 π \sqrt{3}}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi bán kính đáy của khối trụ là

r (0 < r < \sqrt{3})

, chiều cao của khối trụ là

h (0 < h < 2 \sqrt{3})

, bán kính của mặt cầu

(S)

là

R = \sqrt{3}

. Ta có

r^{2} = R^{2} - {(\frac{h}{2})}^{2}

= 3 - \frac{h^{2}}{4}

.
Thể tích của khối trụ

V = π r^{2} h

= π (3 - \frac{h^{2}}{4}) h

= 3 π h - \frac{π}{4} h^{3}

V^{'} (h) = 3 π - \frac{3 π}{4} h^{2}

;

V^{'} (h) = 0 \Leftrightarrow 3 π - \frac{3 π}{4} h^{2} = 0

\Leftrightarrow h^{2} = 4 \Leftrightarrow h = 2

.
Ta có bảng biến thiên:

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ

V_{\max} = 4 π

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi