Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R = 5$ . Khối tứ diện $A B C D$ có tất cả các đỉnh thay đổi và cùng thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $B$ và $D A = D B = D C$ . Biết thể tích lớn nhất của khối tứ diện $A B C D$ là $\frac{a}{b}$ ( $a$ , $b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), tính $a + b$ .

a + b = 1173

a + b = 4081

a + b = 128

a + b = 5035

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

H

là trung điểm của

A C

, Vì tam giác

A B C

vuông
cân tại

B

và

D A = D B = D C

nên

D H ⊥ (A B C)

và tâm

I

của mặt cầu

(S)

thuộc tia

D H

. Đặt

D H = x

và

A H = a

(

0 < a \leq 5, 0 < x < 10

).
Có

I D = I A = 5

và

I H = |x - 5|

.
Xét tam giác vuông

A I H

có

a^{2} = A H^{2} = A I^{2} - I H^{2} = 25 - {(x - 5)}^{2} = 10 x - x^{2}

.
Diện tích tam giác

A B C

là:

S = \frac{1}{2} A C . B H = a^{2} = 10 x - x^{2}

.
Thể tích khối chóp

A B C D

là:

V = \frac{1}{3} S_{A B C}^{} . D H = \frac{1}{3} (10 x - x^{2}) x

.
Xét

f (x) = \frac{1}{3} (10 x - x^{2}) x = \frac{1}{3} (10 x^{2} - x^{3})

với

0 < x < 10

.
Lập bảng biến thiên cho hàm số

f (x)

ta được giá trị lớn nhất của hàm số

f (x)

trên nửa
khoảng

(0; 10)

ta có kết quả là

\frac{4000}{81}

tại

x = \frac{20}{3}

.
Vậy

a = 4000, b = 81

nên

a + b = 4081

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi