Đáp án và lời giải
Đáp án:C
Lời giải:Phương trình hoành độ giao điểm của parapol $y=\dfrac{1}{4}x^2 + 1$ và nửa đường tròn $y=\sqrt{8-x^2}$ là $$\sqrt{8-x^2}=\dfrac{1}{4}x^2 + 1 \Leftrightarrow x=2.$$ Từ đồ thị, ta có diện tích hình phẳng $\mathscr{(H)}$ là $$S=\displaystyle\int\limits_0^2 \left(\dfrac{1}{4}x^2 + 1\right)\mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_2^{2\sqrt{2}}\sqrt{8-x^2}\mathrm{\,d}x.$$ +) $S_1=\displaystyle\int\limits_0^2 \left(\dfrac{1}{4}x^2 + 1\right)\mathrm{d}x=\left(\dfrac{x^3}{12}+x\right)\Bigg|_0^2=\dfrac{8}{3}$. +) $S_2=\displaystyle\int\limits_2^{2\sqrt{2}}\sqrt{8-x^2}\mathrm{\,d}x$. Đặt $x=2\sqrt{2}\sin t$ $\left(t \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\right)$ $\Rightarrow \mathrm{d}x=2\sqrt{2}\cos t\mathrm{\,d}t$. Đổi cận $x=2 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}$; $x=2\sqrt{2} \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}$. Suy ra $S_2=2\sqrt{2}\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}\sqrt{8-8\sin^2t}\cos t\mathrm{\,d}t=8\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2t\mathrm{\,d}t=4\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)\mathrm{\,d}t=4\left(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right)\Bigg|_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}=\pi -2$. Vậy $S=S_1+S_2=\dfrac{8}{3}+\pi -2=\dfrac{3\pi + 2}{3}$.
