Cho một tấm nhôm hình chữ nhật $A B C D$ có $B C = 90 c m$ . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh $M N, P Q$ vào phía trong đến khi $A B$ và $C D$ trùng nhau như hình vẽ sau đây để được một lăng trụ đứng khuyết hai đáy.

Giá trị của $x$ để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

x = 20 c m .

x = 22, 5 c m

x = 25 c m .

x = 30 c m .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Giả thiết suy ra:

2 x + N P = 90 c m, 0 < x < 45

. Gọi

p

là nửa chu vi

△ A N P

, khi đó:

p = 45 c m, 2 x + N P = 2 p \Leftrightarrow N P = 2 p - 2 x (c m)

Khi ghép lại thành hình lăng trụ đứng, thể tích lăng trụ:

V_{L t} = S_{△ A N P} \cdot h = S_{△ A N P} \cdot A B

Vì

A B

cố định nên thể tích lăng trụ lớn nhất khi

S_{△ A N P}

lớn nhất.

S_{△ A N P} = \sqrt{p {(p - x)}^{2} (p - N P)} = \sqrt{p \cdot {(p - x)}^{2} \cdot (2 x - p)}

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

S_{△ A N P} \leq \sqrt{p \cdot {(\frac{p - x + p - x + 2 x - p}{3})}^{3}} \Leftrightarrow S_{△ A N P} \leq \frac{\sqrt{3} \cdot p^{2}}{9}

Vậy

\max (S_{△ A N P}) = \frac{\sqrt{3} \cdot p^{2}}{9}

, dấu bằng xảy ra khi

p - x = 2 x - p \Leftrightarrow x = \frac{2 p}{3} = \frac{90}{3} = 30

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi