Cho parabol $(P)$ có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A (1; 3)$ . Giả sử khi đường thẳng $d$ có hệ số góc $k$ thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $d$ nhỏ nhất. Giá trị thực của $k$ thuộc khoảng nào sau đây?

(- \infty; - 3)

(3; + \infty)

(- 3; 0)

(0; 3)

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Phương trình của

d

là:

y = k (x - 1) + 3

.
Hoành độ giao điểm của

d

và

(P)

là nghiệm của phương trình:

x^{2} - k x + k - 3 = 0 (1)

.
Do

k^{2} - 4 (k - 3) = {(k - 2)}^{2} + 8 > 0, \forall k \in ℝ

nên

(1)

luôn có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})

.
Theo định lý Vi-ét ta có:

x_{1} + x_{2} = k, x_{1} . x_{2} = k - 3

.
Diện tích miền phẳng

D

giới hạn bởi

d

và

(P)

là:

S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (- x^{2} + k x - k + 3) d x = {(- \frac{x^{3}}{3} + k \frac{x^{2}}{2} - k x + 3 x)|}_{x_{1}}^{x_{2}}

= (- \frac{x_{2}^{3}}{3} + k \frac{x_{2}^{2}}{2} - k x_{2} + 3 x_{2}) - (- \frac{x_{1}^{3}}{3} + k \frac{x_{1}^{2}}{2} - k x_{1} + 3 x_{1})

= \frac{x_{1}^{3} - x_{2}^{3}}{3} - \frac{k}{2} (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) + k (x_{1} - x_{2}) - 3 (x_{1} - x_{2})

= (x_{1} - x_{2}) [\frac{x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}}{3} - \frac{k}{2} (x_{1} + x_{2}) + k - 3]

= (x_{1} - x_{2}) [\frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}}{3} - \frac{k^{2}}{2} + k - 3]

= (x_{1} - x_{2}) [\frac{k^{2} - (k - 3)}{3} - \frac{k^{2}}{2} + k - 3]

= \frac{1}{6} (x_{2} - x_{1}) (k^{2} - 4 k + 12)

Suy ra

S^{2} = \frac{1}{36} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] . {(k^{2} - 4 k + 12)}^{2} = \frac{1}{36} {[{(k - 2)}^{2} + 8]}^{3} \geq \frac{128}{9}

\Rightarrow S \geq \frac{8 \sqrt{2}}{3}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

k = 2

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi