Lời giải:Điều kiện x > m
Ta có \({5^x} + m = {\log _5}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow {5^x} + x = x - m + {\log _5}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow {5^x} + x = {5^{{{\log }_5}\left( {x - m} \right)}} + {\log _5}\left( {x - m} \right)\) (1) .
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} + tf'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 + 1 > 0,\forall t \in R\), do đó từ (1) suy ra \(x = {\log _5}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow m = x - {5^x}\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = x - {5^x},g'\left( x \right) = 1 - {5^x}.\ln 5,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {\log _5}\frac{1}{{\ln 5}} = - {\log _5}\ln 5 = {x_0}\).
Bảng biến thiên
.png)
Do đó để phương trình có nghiệm thì \(m \le g\left( {{x_0}} \right) \approx - 0,92\).
Các giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 20;20} \right)\) là {-19; =18;...;-1}, có 19 giá trị m thỏa mãn.
