Cho tam giác đều $A B C$ có cạnh bằng 2. Trên đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ lấy điểm $M$ sao cho $A M = x$ . Gọi $E$ , $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên $A B$ , $M B$ . Đường thẳng qua $E$ , $F$ cắt $d$ tại $N$ . Xác định $x$ để thể tích khối tứ diện $B C M N$ nhỏ nhất.

x = \frac{\sqrt{2}}{2}

x = 1

x = 2

x = \sqrt{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Trong

Δ A B C

đều có

C E ⊥ A B

. Suy ra

E

là trung điểm

A B

. Suy ra

A E = B E = 1

.
Ta có

C E ⊥ A B

và

C E ⊥ M A

d ⊥ (A B C)

. Suy ra

C E ⊥ (A B M)

. Suy ra

C E ⊥ M B

.
Có

M B ⊥ C F

. Suy ra

M B ⊥ (C E F)

. Suy ra

M B ⊥ E F

.
Ta có

\hat{A N E} = 90 ° - \hat{A E N} = 90 ° - \hat{F E B} = \hat{F B E} = \hat{A B M}

.
Xét hai tam giác

A E N

và

A M B

có

\hat{M A B} = \hat{N A E} = 90 °

và

\hat{A N E} = \hat{A B M}

.
Suy ra

Δ A E N \sim Δ A M B

. Suy ra

\frac{A N}{A B} = \frac{A E}{A M} \Rightarrow A N = \frac{A E . A B}{A M} = \frac{1. 2}{x} = \frac{2}{x}

.
Suy ra

M N = A M + A N = x + \frac{2}{x}

.
Tứ diện

B C M N

có

C E ⊥ (B M N)

, trong

Δ B M N

có

B A ⊥ M N

. Suy ra thể tích tứ diện

B C M N

là:

V = \frac{1}{3} . C E . \frac{1}{2} . B A . ​ M N

.
Vì độ dài

C E

và

B A

là không đổi nên thể tích khối tứ diện

B C M N

nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài

M N

nhỏ nhất.
Ta có

M N = x + \frac{2}{x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{2}{x}} = 2 \sqrt{2}

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = \frac{2}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt{2}

.
Vậy

x = \sqrt{2}

thỏa yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi