Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, \((ABC)\bot (BCD)\) và AD hợp với (BCD) một góc 60^o.Tính thể tích tứ diện ABCD.

A.A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

B.B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

C.C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)

D.D. \(\frac{{{2a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có tam giác ABC đều nên \(AH\bot (BCD)\),

Mà \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\)

Ta có \(AH \bot HD\)

\( \Rightarrow AH = AD.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

và \(HD = AD.\cot {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta lại có: \(\Delta BCD\) vuông cân tại D nên

\(BC = 2HD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow V = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi