Cho tứ diện $A B C D$ có $B C = B D = A C = A D = 1, (A C D) ⊥ (B C D)$ và $(A B D) ⊥ (A B C)$ . Thể tích của tứ diện $A B C D$ bằng

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

\frac{\sqrt{3}}{27}

\frac{2 \sqrt{3}}{27}

\frac{2 \sqrt{2}}{27}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

H, K

lần lượt là trung điểm cạnh

C D, A B

.
Đặt

A H = x, (x > 0)

\{\begin{cases} (A C D) ⊥ (B C D) \\ (A C D) \cap (B C D) = C D \\ (A C D) \supset A H ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (B C D)

Do đó

A H ⊥ B H (1)

Δ A C D = Δ B C D (c . c . c)

do đó

A H = B H

Từ , suy ra

Δ A H B

vuông cân tại .

\Rightarrow A B = A H \sqrt{2} = x \sqrt{2}

.
Chứng minh tương tự ta được

Δ C K D

vuông cân tại

K

\Rightarrow C K = \frac{C D}{\sqrt{2}} = \frac{2. H D}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} . \sqrt{A D^{2} - A H^{2}} = \sqrt{2} . \sqrt{1 - x^{2}}

Mặt khác,

Δ A C D

cân tại A có

C K

là đường cao nên:

A B = 2 A K = 2 \sqrt{A C^{2} - C K^{2}} = 2 \sqrt{1 - 2 (1 - x^{2})}

Từ , ta có:

\begin{array}{l} x \sqrt{2} = 2 \sqrt{1 - 2 (1 - x^{2})} \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} = 4 (2 x^{2} - 1) \\ \Leftrightarrow x^{2} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{6}}{3} (x > 0) \end{array}

C D = 2. H D = 2 \sqrt{1 - A H^{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

V_{A B C D} = \frac{1}{3} A H . S_{Δ B C D} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{27}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi