Cho tứ diện $A B C D$ có $D A$ vuong góc với $m p (A B C)$ , $D B$ vuông góc với $B C$ , $A D = A B = B C = a .$ Ký hiệu $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ lần lượt là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác $A B D$ khi quay quanh $A D$ , $A B C$ khi quay quanh $A B$ , $D B C$ khi quay quanh $B C$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

V_{1} + V_{2} = V_{3}

V_{1} + V_{3} = V_{2}

V_{2} + V_{3} = V_{1}

V_{1} = V_{2} = V_{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

.
Theo giả thiết ta có

\{\begin{cases} B C ⊥ B D \\ B C ⊥ D A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ A B \Rightarrow A C = a \sqrt{2} .

.
Đồng thời

B D = a \sqrt{2} \Rightarrow D C = \sqrt{B D^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{3} .

.
+ Khối tròn xoay sinh bởi tam giác

A B D

khi quay quanh

A D

có bán kính đáy

r_{1} = A B = a

, chiều cao

h_{1} = A D = a

nên có thể tích

V_{1} = \frac{1}{3} π . A B^{2} . A D = \frac{1}{3} π . a^{3} .

.
+ Khối tròn xoay sinh bởi tam giác

A B C

khi quay quanh

A B

có bán kính đáy

r_{2} = B C = a

, chiều cao

h_{2} = A B = a

nên có thể tích

V_{2} = \frac{1}{3} π . B C^{2} . A B = \frac{1}{3} π . a^{3} .

.
+ Khối tròn xoay sinh bởi tam giác

D B C

khi quay quanh

B C

có bán kính đáy

r_{3} = B D = a \sqrt{2}

, chiều cao

h_{3} = B C = a

nên có thể tích

V_{3} = \frac{1}{3} π . B D^{2} . B C = \frac{2}{3} π a^{3} .

Do đó

V_{1} + V_{2} = V_{3} .

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi