Cho tứ diện gần đều ABCD với trọng tâm G. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

G là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.

G là tâm mặt cầu nội tiếp của tứ diện ABCD.

Các đường tròn ngoại tiếp các mặt của tứ diện ABCD bằng nhau.

G là tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD.

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:

* Đặt , . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì G là trung điểm của IJ. Ta có thể chứng minh được IJ là đường vuông góc chung của AB và CD. Kết hợp với giả thiết ta được hai tam giác vuông GIB và GJC bằng nhau, do đó Suy ra .Vậy G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. * Vì ABCD là tứ diện gần đều nên các mặt là các tam giác bằng nhau, do đó các đường tròn ngoại tiếp cũng bằng nhau, vì thế khoảng cách từ G đến các mặt của tứ diện bằng nhau. (Vậy trong một tứ diện gần đều, tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp trung nhau). Áp dụng tính chất của đường trung tuyến trong ta được: . Từ tam giác vuông: . Tương tự, nếu gọi M, N là trung điểm của AC, BD thì: . Thông thường ta có . Như vậy mặt cầu tâm G tiếp xúc với AB và CD sẽ không tiếp xúc với AC và BD. .