Cho $x$ , $y > 0$ thỏa mãn $x + y = \frac{3}{2}$ và biểu thức $P = \frac{4}{x} + \frac{1}{4 y}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x^{2} + y^{2}$ .

\frac{153}{100}

\frac{5}{4}

\frac{2313}{1156}

\frac{25}{16}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Từ

x + y = \frac{3}{2}

suy ra

y = \frac{3}{2} - x

. Ta có:

0 < x, y < \frac{3}{2}

.
Xét hàm

P (x) = \frac{4}{x} + \frac{1}{4 (\frac{3}{2} - x)}

= \frac{4}{x} + \frac{1}{6 - 4 x}

trên khoảng

(0; \frac{3}{2})

, ta có:

P^{'} (x) = - \frac{4}{x^{2}} - \frac{- 4}{{(6 - 4 x)}^{2}}

P^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow \frac{4}{{(6 - 4 x)}^{2}} = \frac{4}{x^{2}}

\Leftrightarrow x^{2} = {(6 - 4 x)}^{2}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 6 - 4 x \\ x = 4 x - 6 \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{6}{5} \\ x = 2 \end{array}

.
Bảng biến thiên của

P (x)

trên

(0; \frac{3}{2})

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

\min_{(0; \frac{3}{2})} P (x) = \frac{25}{6}

khi

x = \frac{6}{5}

.
Với

x = \frac{6}{5}

thì

y = \frac{3}{10}

.
Như vậy

\min P = \frac{25}{6}

khi

x = \frac{6}{5}

y = \frac{3}{10}

.
Khi đó,

x^{2} + y^{2} = \frac{153}{100}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi