Cho $x, y$ là hai số thực dương thoả mãn $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y \leq \log_{\frac{1}{2}} (x + y^{2})$ . Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = 3 x + y .$

P_{\min} = 8

P_{\min} = \frac{17}{2}

P_{\min} = \frac{25 \sqrt{2}}{4}

P_{\min} = 9

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có:

\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y \leq \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + y) \Leftrightarrow \log_{\frac{1}{2}} (x y) \leq \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + y) \Leftrightarrow x y \geq x^{2} + y \Leftrightarrow y (x - 1) \geq x^{2} (1) .

Vì

x, y

là hai số thực dương, do đó:
Từ

(1) \Rightarrow x > 1 \Rightarrow y \geq \frac{x^{2}}{x - 1} \Rightarrow P = 3 x + y \geq 3 x + \frac{x^{2}}{x - 1} = 4 (x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 5 \geq 9.

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x = \frac{3}{2}; y = \frac{9}{2}

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

là

P_{\min} = 9

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi