Chọn ngẫu nhiên đường thẳng chứa cạnh khác nhau của một hình bát diện đều. Tìm xác suất để các véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó đồng phẳng.
.
.
.
.
Phân tích: Hình bát diện đều có cạnh. Số phần từ của không gian mẫu bằng . Gọi là biến cố chọn được cạnh mà các đường thẳng chứa cạnh đó có vectơ chỉ phương đồng phẳng. Cách 1: TH1: Chọn cạnh nằm trong một mặt phẳng: có mặt bên là tam giác đều và mặt chéo là hình vuông. Có cách. TH2: Chọn cạnh của một mặt bên và cạnh còn lại song song với mặt mặt đó. Có mặt bên được chọn, ứng với mỗi mặt có cách chọn cặp cạnh, ứng với mỗi cách chọn cặp cạnh đó có cách chọn cạnh còn lại song song với trong cạnh của mặt bên, vậy có cách. Do đó . Vậy xác suất cần tính bằng: . Cách 2: Ta thấy nếu véc tơ của đường thẳng chứa cạnh được chọn đồng phẳng thì: · cạnh được chọn không có cạnh nào song song thì cạnh đó phải song song hoặc nằm trong một mặt phẳng, mặt phẳng đó là mặt “bên” (; ; …) của bát diện (TH1) hoặc mặt chéo (; ; ) (TH2). · cạnh được chọn có cạnh song song, cạnh còn lại bất kì. (TH3) TH1: cạnh song song hoặc nằm trong một mặt bên: : Có các cạnh thỏa mãn là , , , , , . Có các bộ thỏa mãn là: ; ; ; ; ; ; ; . Tất cả có cặp. Do có mặt bên chia thành 4 (vì có mặt đối song song với nhau) nên suy ra có: cách. TH2: Với mỗi mặt chéo thì có cạnh nên khi chọn cạnh luôn có cạnh song song nên TH này bị tính ở trường hợp 3 (TH3). TH3: Có cặp cạnh song song (;…) với mỗi cặp cạnh song song đó sẽ có thêm cách chọn cạnh còn lại. Vậy sẽ có: cách. Tổng hợp lại ta có: cách. Vậy xác suất cần tính bằng: .
Vậy đáp án đúng là A.