Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để hàm số $y = x + m \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

2

4

3

1

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Ta có

y' = 1 + m \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}} .

Để hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; + \infty)

thì

y^{'} \geq 0, \forall x \in (- \infty; + \infty)

\Leftrightarrow 1 + m \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}} \geq 0, \forall x \in (- \infty; + \infty)

(1)

.
Nếu

x = 1

thì

(1)

luôn thỏa

\forall m

.
Nếu

x > 1

thì

(1)

\Leftrightarrow m \geq - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}{x - 1}

\Leftrightarrow m \geq - \sqrt{1 + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}}

\Leftrightarrow m \geq - 1

.
Nếu

x < 1

thì

(1)

\Leftrightarrow m \leq - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}{x - 1}

\Leftrightarrow m \leq \sqrt{1 + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}}

\Leftrightarrow m \leq 1

.
Vậy

- 1 \leq m \leq 1

. Vì

m \in ℤ

nên

m \in \{- 1; 0; 1\}

.
Do đó có

3

giá trị nguyên

m

cần tìm.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi