Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} m x^{2} + \frac{1}{2} m^{3}$ có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng $y = x$ ?

1

3

2

0

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

y^{'} = 3 x^{2} - 3 m x = 3 x (x - m)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = m \end{array}

. Như vậy hàm số có hai cực trị

\Leftrightarrow m \neq 0

. Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có tọa độ là

A (0; \frac{m^{3}}{2})

và

B (m; 0)

suy ra

\vec{A B} = (m; \frac{- m^{3}}{2})

. Nên đường thẳng

A B

có một vec tơ chỉ phương là

\vec{a} = (2; - m^{2})

. Gọi

I

là trung điểm của đoạn thẳng

A B

\Rightarrow I (\frac{m}{2}; \frac{m^{3}}{4})

. Đường thẳng

d : y = x

có một vectơ chỉ phương là

\vec{b} = (1; 1)

A

và

B

đối xứng với nhau qua đường thẳng

d : y = x

\Leftrightarrow \{\begin{cases} I \in d \\ \vec{a} . \vec{b} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{m^{3}}{4} = \frac{m}{2} \\ 2 - m^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \sqrt{2} \\ m = - \sqrt{2} \end{array}

.
Vậy có hai giá trị của tham số

m

thỏa mãn yeu cầu đề bài.

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi