Có bao nhiếu số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện hàm số $f (x) = x + m \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$ đồng biến trên $ℝ$ ?

4

3

0

2

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Ta có:

f (x) = x + m \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}

\Rightarrow f^{'} (x) = 1 + \frac{m (x - 1)}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4} + m (x - 1)}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}

.
Hàm số

f (x) = x + m \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}

đồng biến trên

ℝ

khi và chỉ khi

f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ

\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 2 x + 4} + m (x - 1) \geq 0, \forall x \in ℝ

.
* Xét

x = 1

.
Bpt

\Leftrightarrow \sqrt{3} \geq 0

đúng.
* Xét

x \neq 1

.
Bpt

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq \frac{- \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x - 1}; x > 1 \\ m \leq \frac{- \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x - 1}; x < 1 \end{cases}

.
Đặt:

g (x) = \frac{- \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x - 1}

\Rightarrow g^{'} (x) = \frac{3}{{(x - 1)}^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} > 0, \forall x \in (1; + \infty)

và

\forall x \in (- \infty; 1)

.
Giới hạn của hàm số:

\lim_{x \to + \infty} \frac{- \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x}} = - 1

;

\lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x}} = 1

;

\lim_{x \to 1^{+}} \frac{- \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}}{x - 1} = + \infty

.
Ta có, bbt của hàm số

g (x)

như sau

Dựa vào bbt của hàm số

g (x)

, suy ra

1 \geq m \geq - 1 \Rightarrow m \in \{- 1; 0; 1\}

.
Vậy, có 3 số nguyên

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi