Lời giải:\(\begin{array}{l}
\left| {\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z - 2i} \right)} \right| = {\left| {z + 2i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right|\left| {\overline z - 2i} \right| = \left| {z + 2i} \right|\left| {\overline z - 2i} \right|\\
\Leftrightarrow \left| {\overline z - 2i} \right|.\left( {\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right|} \right)
\end{array}\)
TH1: \(\left| {\overline z - 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \overline z = 2i \Leftrightarrow z = - 2i\)
TH2: \(\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = \left| {z + 2i} \right| = 0\)
Đặt z = x + yi ta có z - 2 = x - 2 + y.i và z + 2i = x + (y + 2).i
Khi đó
\(\begin{array}{l}
\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\
\Leftrightarrow - 4x = 4y \Leftrightarrow x = - y
\end{array}\)
Lại có
\(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2{y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2\left| y \right|.\left( {\left| y \right| - 1} \right) = 0\).
⇔ y = 0 hoặc \(y = \pm 1\)
Do đó ta có các số z \(\in\) {0; 1; -i; -1+i; -2i} thỏa mãn
Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán
