Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ và ${(z + 2 i)}^{2}$ là số thuần ảo?

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Gọi

z = x + y i (x, y \in ℝ)

, khi đó

|z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 18

(1)

{(z + 2 i)}^{2} = {[x + (y + 2) i]}^{2} = x^{2} - {(y + 2)}^{2} + 2 x (y + 2) i

Theo giả thiết ta có

x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y + 2 \\ x = - (y + 2) \end{array}

Trường hợp 1:

x = y + 2

thay vào (1) ta được phương trình

2 y^{2} = 0

và giải ra nghiệm

y = 0

, ta được một số phức

z_{1} = 2.

Trường hợp 2:

x = - (y + 2)

thay vào (1) ta được phương trình

2 y^{2} - 4 y - 8 = 0

và giải ra ta được

[\begin{array}{l} y = 1 + \sqrt{5} \\ y = 1 - \sqrt{5} \end{array}

, ta được hai số phức

[\begin{array}{l} z_{2} = - 3 - \sqrt{5} + (1 + \sqrt{5}) i \\ z_{3} = - 3 + \sqrt{5} + (1 - \sqrt{5}) i \end{array}

.
Vậy có ba số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi