Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương $(n, k)$ biết $n < 20$ và các số $C_{n}^{k - 1}$ , $C_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k + 1}$ theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng.

0

2

1

4

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Các số

C_{n}^{k - 1}

C_{n}^{k}

C_{n}^{k + 1}

theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng nên ta có:

C_{n}^{k} - C_{n}^{k - 1} = C_{n}^{k + 1} - C_{n}^{k}

\Leftrightarrow \frac{n!}{(k + 1)! (n - k - 1)!} + \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} = 2 \frac{n!}{k! (n - k)!}

\Leftrightarrow \frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{(n - k + 1) (n - k)} = \frac{2}{k (n - k)}

\Leftrightarrow {(n - 2 k)}^{2} = n + 2

.
Do

n < 20

\Rightarrow n + 2 < 22

mà

n + 2

là số chính phương,

n, k

nguyên dương nên có các trường hợp sau:
+

n + 2 = 4

\Rightarrow n = 2; k = 2

.
+

n + 2 = 9

\Rightarrow n = 7; k = 2

hoặc

n = 7; k = 5

.
+

n + 2 = 16

\Rightarrow n = 14; k = 5

hoặc

n = 14; k = 9

.
Mà

k + 1 \leq n

nên chỉ có 4 bộ thỏa mãn.

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi