Có tất cả bao nhiêu cặp số $(a, b)$ với $a, b$ là các sổ nguyên dương thỏa mãn
$\log_{3} (a + b) + {(a + b)}^{3} = 3 (a^{2} + b^{2}) + 3 a b (a + b - 1) + 1$

2

3

1

D.Vô số

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Với

a, b

là các số nguyên dương, ta có

\begin{array}{l} \log_{3} (a + b) + {(a + b)}^{3} = 3 (a^{2} + b^{2}) + 3 a b (a + b - 1) + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{3} \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) = 3 (a^{2} + b^{2} - a b) + 3 a b (a + b) + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{3} (a^{3} + b^{3}) + a^{3} + b^{3} = \log_{3} [3 (a^{2} + b^{2} - a b)] + 3 (a^{2} + b^{2} - a b) \end{array}

Xét hàm số

f (t) = \log_{3} t + t

trên

(0; + \infty)

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 3} + 1 > 0, \forall t > 0

nên hàm số

f (t)

đồng biển trên

(0; + \infty)

Khi đó, phương trình (1) trở thành

\begin{matrix} f (a^{3} + b^{3}) = f [3 (a^{2} + b^{2} - a b)] \\ \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} = 3 (a^{2} + b^{2} - a b) \end{matrix}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} - a b) (a + b - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [a^{2} + b^{2} - a b = 0 (*) \\ a + b - 3 = 0 \end{array}

a, b \in ℕ^{*}

nên phưong trinh

(*)

vô nghiệm. Suy ra

a + b = 3

Mà

a, b

là các sổ nguyên dương nên

\{\begin{array}{l} 0 < a < 3 \\ 0 < b < 3 \\ a + b = 3 \\ a, b \in ℕ^{*} \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = 2 \\ b = 1 \\ b = 1 \\ b = 2 \end{array}

Vậy có hai cặp số

(a, b)

thỏa mãn yêu càu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi