(Đề minh họa lần 1 2017) Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 (x - 1) e^{x},$ trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $O x$

$V = 4 - 2 e$

$V = (4 - 2 e) π$

$V = e^{2} - 5$

$V = (e^{2} - 5) π$

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm $2 (x - 1) e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $O x$ là:
$V = π \int_{0}^{1} {[2 (x - 1) e^{x}]}^{2} d x = 4 π \int_{0}^{1} {(x - 1)}^{2} e^{2 x} d x$ . Đặt $\{\begin{cases} u = {(x - 1)}^{2} \\ d v = e^{2 x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 (x - 1) d x \\ v = \frac{e^{2 x}}{2} \end{cases}$
$\Rightarrow V = {4 π {(x - 1)}^{2} \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - 4 π \int_{0}^{1} 2 (x - 1) \frac{e^{2 x}}{2} d x = 4 π {{(x - 1)}^{2} \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - 4 π \int_{0}^{1} (x - 1) e^{2 x} d x$
Gọi $I_{1} = \int_{0}^{1} (x - 1) e^{2 x} d x$ . Đặt
$\Rightarrow I_{1} = {4 π (x - 1) \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - 4 π \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x = 2 π - {π e^{2 x}|}_{0}^{1} = 2 π - π e^{2} + π = 3 π - π e^{2}$
Vậy $V = {4 π (x - 1)^{2} \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - I_{1} = - 2 π - (3 π - π e^{2}) = π (e^{2} - 5)$

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Câu hỏi

(Đề minh họa lần 1 2017) Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=2(x−1)ex, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

(Đề minh họa lần 1 2017) Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 (x - 1) e^{x},$ trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $O x$