[DS12. C1. 2. D15. d] Biết hai hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 2 x - 1$ và $g (x) = - x^{3} + b x^{2} - 3 x + 1$ có chung ít nhất một điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |a| + |b|$

\sqrt{30}

2 \sqrt{6}

3 + \sqrt{6}

3 \sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + 2

. Hàm số

y = f (x)

có cực trị khi:

a^{2} - 6 > 0 \Leftrightarrow a < - \sqrt{6} \lor a > \sqrt{6} (1)

g^{'} (x) = - 3 x^{2} + 2 b x - 3

. Hàm số

y = g (x)

có cực trị khi

b^{2} - 9 > 0 \Leftrightarrow b < - 3 \lor b > 3 (2)

.
Giả sử

x_{0}

là điểm cực trị của cả hai hàm số

y = f (x)

và

y = g (x)

\Rightarrow \{\begin{cases} 3 x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 = 0 \\ - 3 x_{0}^{2} + 2 b x_{0} - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b = \frac{1}{2 x_{0}} \\ b = \frac{3}{2} (x_{0} + \frac{1}{x_{0}}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{1}{x_{0}} - \frac{3}{2} x_{0} \\ b = \frac{3}{2} (x_{0} + \frac{1}{x_{0}}) \end{cases}

P = |a| + |b| = |\frac{1}{x_{0}} + \frac{3}{2} x_{0}| + |\frac{3}{2} (x_{0} + \frac{1}{x_{0}})| \geq |\frac{5}{2 x_{0}} + 3 x_{0}|

\Rightarrow P^{2} = \frac{25}{4 x_{0}^{2}} + 9 x_{0}^{2} + 15 \geq 2 \sqrt{\frac{25}{4 x_{0}^{2}} . 9 x_{0}^{2}} + 15 = 30 \Rightarrow P \geq \sqrt{30}

Dấu “=” xảy ra khi:

\{\begin{cases} (\frac{1}{x_{0}} + \frac{3}{2} x_{0}) (x_{0} + \frac{1}{x_{0}}) > 0 \\ \frac{25}{4 x_{0}^{2}} = 9 x_{0}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (\frac{1}{x_{0}} + \frac{3}{2} x_{0}) (x_{0} + \frac{1}{x_{0}}) > 0 \\ x_{0} = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \end{cases} \Rightarrow x_{0} = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}

.
Với hai giá trị

x_{0}

, ta tìm được hai cặp giá trị

a, b

thoả và. Vậy

\min P = \sqrt{30}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi