[DS12. C1. 3. D07. c] Cho hàm số $f (x) = (1 - m^{3}) x^{3} + 3 x^{2} + (4 - m) x + 2,$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu số nguyên $m \in [- 2018; 2018]$ sao cho $f (x) \geq 0, \forall x \in [2; 4] ?$

A. 4037.

B. 2020.

C. 2019.

D. 2021.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Tập xác định:

D = ℝ

.
Điều kiện cần:

\{\begin{cases} f (2) \geq 0 \\ f (4) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 (1 - m^{3}) + 12 + 2 (4 - m) + 2 \geq 0 \\ 64 (1 - m^{3}) + 48 + 4 (4 - m) + 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 m^{3} + 2 m - 30 \leq 0 \\ 64 m^{3} + 4 m - 130 \leq 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} (2 m - 3) (4 m^{2} + 6 m + 10) \leq 0 \\ (4 m - 5) (16 m^{2} + 20 m + 26) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq \frac{3}{2} \\ m \leq \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{4} .

m \in [- 2018; 2018]

và

m \in ℤ

nên

m \in \{- 2018; - 2017; . . .; - 1; 0; 1\}

.
Điều kiện đủ:
-Với

m = 1,

ta có:

f (x) = 3 x^{2} + 3 x + 2 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow

Thỏa mãn đề bài.
-Với

m \leq 0

, ta có:

f (x) = (1 - m^{3}) x^{3} + 3 x^{2} + (4 - m) x + 2 \Leftrightarrow

f (x) = - m^{3} x^{3} - m x + x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2

Khi đó:

f' (x) = - 3 m^{3} x^{3} - m + 3 x^{2} + 6 x + 4 = - m (3 m^{3} x^{2} + 1) + 3 x^{2} + 6 x + 4

.
Do

m \leq 0

nên

- m (3 m^{3} x^{2} + 1) \geq 0, \forall x \in ℝ

Mà

3 x^{2} + 6 x + 4 > 0, \forall x \in ℝ .

Suy ra Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; + \infty)

Thỏa mãn đề bài
Do đó

m \leq 0

thỏa mãn.
Vậy,

m \in \{- 2018; - 2017; . . .; - 1; 0; 1\}

nên có tất cả 2020 số nguyên thỏa mãn bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi