[DS12. C1. 3. D14. c] Cho nửa đường tròn đường kính $A B = 2$ và hai điểm $C$ , $D$ thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho $A B C D$ là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang $A B C D$ bằng

\frac{1}{2}

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

1

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

D

lên

A B

I

là trung điểm của đoạn

C D

và

O

là trung điểm của

A B

. Đặt

D H = x

0 < x < 1

. Ta có

D C = 2 D I = 2 O H = 2 \sqrt{O D^{2} - D H^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}

.
Diện tích của hình thang

A B C D

là

S = f (x) = \frac{(A B + C D) D H}{2} = (1 + \sqrt{1 - x^{2}}) x

.
Ta có

f^{'} (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + 1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{1 - x^{2}} + 1 - 2 x^{2} = 0

(*)
Đặt

t = \sqrt{1 - x^{2}}

, (điều kiện

t \geq 0

) khi đó phương trình (*) trở thành

2 t^{2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = \frac{1}{2} \end{array}

t = - 1

loại.

t = \frac{1}{2}

ta có

\sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

.
Bảng biến thiên

Vậy diện tích lớn nhất của hình thang

A B C D

bằng

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi