[DS12. C2. 4. D04. d] Cho hai số thực dương $x$ , $y$ thỏa mãn $2^{y} + y = 2 x + \log_{2} (x + 2^{y - 1})$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{y}$ bằng

\frac{e + \ln 2}{2}

\frac{e - \ln 2}{2}

\frac{e \ln 2}{2}

\frac{e}{2 \ln 2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Theo đề bài,

2^{y} + y = 2 x + \log_{2} (x + 2^{y - 1})

\Leftrightarrow 2^{y} + \log_{2} (2^{y}) = 2 x + \log_{2} (x + \frac{2^{y}}{2})

\Leftrightarrow 2^{y} + 2^{y} + \log_{2} (2^{y}) = 2 x + 2^{y} + \log_{2} (\frac{2 x + 2^{y}}{2})

\Leftrightarrow 2. (2^{y}) + \log_{2} (2^{y}) = 2 \cdot (\frac{2 x + 2^{y}}{2}) + \log_{2} (\frac{2 x + 2^{y}}{2})

(1)

.
Xét hàm số

f (t) = 2 t + \log_{2} t

t > 0

.
Vì

f^{'} (t) = 2 + \frac{1}{t \ln 2} > 0

\forall t > 0

\Rightarrow f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty)

nên

(1) \Leftrightarrow f (2^{y}) = f (\frac{2 x + 2^{y}}{2}) \Leftrightarrow 2^{y} = \frac{2 x + 2^{y}}{2} \Leftrightarrow {2. 2}^{y} = 2 x + 2^{y} \Leftrightarrow 2 x = 2^{y} \Leftrightarrow x = 2^{y - 1}

\Rightarrow P = \frac{x}{y} = \frac{2^{y - 1}}{y} = g (y)

y > 0

g^{'} (y) = \frac{2^{y - 1} . \ln 2. y - 2^{y - 1}}{y^{2}} = \frac{2^{y - 1} . (y \ln 2 - 1)}{y^{2}}

. Cho

g^{'} (y) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{\ln 2} = \log_{2} e

.
Bảng biến thiên của

g (y)

:
$C:\Users\Win7SP1-64\Google Drive\Diễn đàn GV Toán\Hình\abcd.png$

\Rightarrow \min_{(0; + \infty)} g (y) = g (\log_{2} e) = \frac{e}{2 \log_{2} e} = \frac{e \ln 2}{2}

.
Vậy

\min P = \frac{e \ln 2}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi