[DS12. C2. 4. D12. d] Có tất cả bao nhiêu cặp số $(a; b)$ với $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $\log_{3} (a + b) + {(a + b)}^{3} = 3 (a^{2} + b^{2}) + 3 a b (a + b - 1) + 1$ .

2

3

1

D.vô số.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1
Với

a, b

là các số nguyên dương, ta có:

\log_{3} (a + b) + {(a + b)}^{3} = 3 (a^{2} + b^{2}) + 3 a b (a + b - 1) + 1

\Leftrightarrow \log_{3} \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) = 3 (a^{2} + b^{2} - a b) + 3 a b (a + b) + 1

\Leftrightarrow \log_{3} (a^{3} + b^{3}) + a^{3} + b^{3} = \log_{3} [3 (a^{2} + b^{2} - a b)] + 3 (a^{2} + b^{2} - a b) (1)

Xét hàm số:

f (t) = \log_{3} t + t

trên

(0; + \infty)

f' (t) = \frac{1}{t \ln 3} + 1 > 0, \forall t > 0

nên hàm số

f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Khi đó, phương trình

(1)

trở thành :

\begin{array}{l} f (a^{3} + b^{3}) = f [3 (a^{2} + b^{2} - a b)] \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} = 3 (a^{2} + b^{2} - a b) \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} - a b) (a + b - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} - a b = 0 (*) \\ a + b - 3 = 0 \end{array} \end{array}

a, b \in ℕ_{}^{*}

nên phương trình

(*)

vô nghiệm. Suy ra:

a + b = 3

.
Mà

a, b

là các số nguyên dương nên

\{\begin{cases} 0 < a < 3 \\ 0 < b < 3 \\ a + b = 3 \\ a, b \in ℕ^{*} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \end{array}

Vậy có hai cặp số

(a; b)

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2
Với

a, b

là các số nguyên dương, ta có:

\begin{array}{l} \log_{3} (a + b) + {(a + b)}^{3} = 3 (a^{2} + b^{2}) + 3 a b (a + b - 1) + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{3} \frac{a + b}{3} + a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) = 3 (a^{2} + b^{2} - a b) + 3 a b (a + b) \\ \Leftrightarrow \log_{3} \frac{a + b}{3} = (a^{2} + b^{2} - a b) (3 - a - b) (1) \end{array}

Trường hợp 1:

a + b = 2

. Khi đó:

(1) \Leftrightarrow \log_{3} \frac{2}{3} = 4 - 3 a b

loại do

a, b \in ℕ^{*}

.
Trường hợp 2:

a + b > 3 \Rightarrow \log_{3} \frac{a + b}{3} > 0

và

(a^{2} + b^{2} - a b) (3 - a - b) < 0, \forall a, b \in ℕ *

nên

(1)

không xảy ra.
Trường hợp 3:

a + b = 3

, khi đó

(1)

thỏa mãn.
Mà

a, b

là các số nguyên dương nên

[\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \end{array}

.
Vậy có hai cặp số

(a; b)

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi