[DS12. C2. 6. D06. d] Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thoả mãn $x + y > 0; - 20 \leq x \leq 20$ và $\log_{2} (x + 2 y) + x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y - x - y = 0$ ?

A.19.

B.6

C.20.

D.41.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
+ Điều kiện:

x + 2 y > 0

+ Ta có:

x + y > 0

nên

\begin{array}{l} \log_{2} (x + 2 y) + x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y - x - y = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{(x + y) (x + 2 y)}{x + y} + x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y - x - y = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y) - \log_{2} (x + y) + x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y - x - y = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y) + x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y = \log_{2} (x + y) + x + y (1) \end{array}

Xét hàm số:

f (t) = \log_{2} t + t

, ta có:

f^{'} (h) = \frac{1}{t \ln 2} + 1 > 0 \forall t \in (0; + \infty)

nên hàm số

f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Do đó:

(1) \Leftrightarrow f (x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y) = f (x + y) \Leftrightarrow x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y = x + y

\Leftrightarrow (x + y) (x + 2 y - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1 - 2 y

vì

x + y > 0

+ Do

- 20 \leq x \leq 20

suy ra

\frac{- 19}{2} \leq y \leq \frac{21}{2}

+ Do

y \in ℤ

nên

y \in \{- 9; - 8; . . .; 9; 10\}

, với mỗi giá trị

y

cho ta 1 giá trị

x

thoả đề.
Vậy có 20 cặp số nguyên

(x; y)

thoả đề.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi