[DS12. C3. 2. D04. c] Cho $\int_{1}^{e} \frac{(3 x^{3} - 1) \ln x + 3 x^{2} - 1}{1 + x \ln x} d x = a . e^{3} + b + c . \ln (e + 1)$ với $a, b, c$ là các số nguyên và $\ln e = 1$ . Tính $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

P = 9

P = 14

P = 10

P = 3

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có

I = \int_{1}^{e} \frac{(3 x^{3} - 1) \ln x + 3 x^{2} - 1}{1 + x \ln x} d x = \int_{1}^{e} \frac{3 x^{2} (1 + x \ln x) - (1 + \ln x)}{1 + x \ln x} d x = \int_{1}^{e} 3 x^{2} d x - \int_{1}^{e} \frac{(1 + \ln x)}{1 + x \ln x} d x = e^{3} - 1 - A

Tính

A = \int_{1}^{e} \frac{(1 + \ln x)}{1 + x \ln x} d x

. Đặt

t = 1 + x \ln x \Rightarrow d t = (1 + \ln x) d x

.
Đổi cận:

\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = e + 1 \end{cases}

. Khi đó

A = \int_{1}^{1 + e} \frac{d t}{t} = {\ln t|}_{1}^{1 + e} = \ln (e + 1)

.
Vậy

I = e^{3} - 1 - \ln (e + 1)

\overset{}{\to} \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \end{cases} \Rightarrow P = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi