[DS12. C3. 2. D07. c] Cho tích phân $I = \int_{0}^{π^{2}} \sqrt{x} . \sin \sqrt{x} d x = a π^{2} + b (a, b \in Z)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

\frac{a}{b} < - 3

a^{2} - b = - 4

a - b = 6

\frac{a}{b} \in (- 1; 0)

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn D

I = \int_{0}^{π^{2}} \sqrt{x} . \sin \sqrt{x} d x = 2 \int_{0}^{π} t^{2} . \sin t d t

= - 2 {t^{2} \cos t|}_{0}^{π} + 4 \int_{0}^{π} t \cos t d t = 2 π^{2} - 8 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 8 \end{cases} \Rightarrow \frac{a}{b} \in (- 1; 0)

Giải chi tiết:
Bước 1: Đổi biến:
Đặt

t = \sqrt{x} \Rightarrow d t = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x

;
Khi

x = 0

thì

t = 0

, khi

x = π^{2}

thì

t = π

.
Suy ra

I = \int_{0}^{π^{2}} \sqrt{x} . \sin \sqrt{x} d x = \int_{0}^{π} 2 t^{2} . \sin t d t = I_{1}

Bước 2: Tính

I_{1} = \int_{0}^{π} 2 t^{2} . \sin t d t

Đặt

u = 2 t^{2}

và

d v = \sin t d t

, ta có

d u = 4 t d t

và

v = - \cos t

. Do đó

I_{1} = \int_{0}^{π} 2 t^{2} . \sin t d t = {- 2 t^{2} \cos t|}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 4 t c o s t d t = 2 π^{2} + I_{2}

Bước 3: Tính

I_{2} = \int_{0}^{π} 4 t c o s t d t

Đặt

u = 4 t

và

d v = \cos t d t

, ta có

d u = 4 d t

và

v = s i n t

. Do đó

I_{3} = {4 t \sin t|}_{0}^{π} - 4 \int_{0}^{π} s i n t d t = {4 \cos t|}_{0}^{π} = - 8

Bước 4: kết luận:
Vậy

I = \int_{0}^{π^{2}} \sqrt{x} . \sin \sqrt{x} d x = 2 π^{2} - 8

suy ra

\{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 8 \end{cases} \Rightarrow \frac{a}{b} \in (- 1; 0)

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi