[DS12. C3. 2. D15. c] Biết $\int_{1}^{2} \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2} + 4} - 2} = a \sqrt{5} + b \sqrt{2} + c$ với $a, b, c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của $a + b + c$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

10

\frac{7}{2}

20

\frac{20}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Đặt

\sqrt{x^{2} + 4} - 2 = t \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x = d t \Rightarrow x d x = (t + 2) d t

và

x^{2} = {(t + 2)}^{2} - 4

.
Khi đó

\int_{1}^{2} \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2} + 4} - 2} = \int_{\sqrt{5} - 2}^{2 \sqrt{2} - 2} \frac{(t + 2) ({(t + 2)}^{2} - 4)}{t} d t

= \int_{\sqrt{5} - 2}^{2 \sqrt{2} - 2} \frac{(t^{2} + 4 t) (t + 2)}{t} d t = \int_{\sqrt{5} - 2}^{2 \sqrt{2} - 2} (t^{2} + 6 t + 8) d t = {(\frac{t^{3}}{3} + 3 t^{2} + 8 t)|}_{\sqrt{5} - 2}^{2 \sqrt{2} - 2}

= \frac{4 + 16 \sqrt{2}}{3} - \frac{5 \sqrt{5} - 5}{3} = \frac{- 5 \sqrt{5}}{3} + \frac{16 \sqrt{2}}{3} + 3

.
Suy ra

a = \frac{- 5}{3}, b = \frac{16}{3}, c = 3

.
Vậy:

a + b + c = \frac{20}{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi