[DS12. C3. 2. D15. c] Cho hàm số $f (x)$ có $f (\frac{π}{2}) = 2$ và $f^{'} (x) = x \sin x$ . Giả sử rằng $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . f (x) d x = \frac{a}{b} - \frac{π^{2}}{c}$ (với $a, b, c$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản). Khi đó $a + b + c$ bằng

23

5

20

27

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Do

f^{'} (x) = x \sin x

nên

f (x) = \int f^{'} (x) d x

= \int x \sin x d x = - \int x d \cos x =

- x \cos x + \int \cos x d x

= - x \cos x + \sin x + C

.
Theo giả thiết

f (\frac{π}{2}) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1

.
Suy ra

f (x) = \sin x - x \cos x + 1

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x (\sin x - x \cos x + 1) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\sin x \cos x - x \cos^{2} x + \cos x) d x

= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} x (1 + \cos 2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x

= - \frac{1}{4} \cos 2 x |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} + \sin x |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d x - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d \sin 2 x

= \frac{1}{2} + 1 - \frac{x^{2}}{4} |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} - \frac{1}{4} x \sin 2 x |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x = \frac{3}{2} - \frac{π^{2}}{16} - \frac{1}{8} \cos 2 x |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} = \frac{7}{4} - \frac{π^{2}}{16}

.
Vậy

a = 7, b = 4, c = 16

. Suy ra

a + b + c = 27

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi