[DS12.C3.2.D07.c] Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; 1]$ thỏa mãn $f (0) = 1$ , , $\int_{0}^{1} (2 x - 1) f (x) d x = - \frac{1}{30}$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{1}{30}

\frac{11}{30}

\frac{11}{4}

\frac{11}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn D

\int_{0}^{1} (2 x - 1) f (x) d x = - \frac{1}{30}

Đặt

\{\begin{cases} f (x) = u \\ (2 x - 1) d x = d v \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = x^{2} - x \end{cases}

\Rightarrow (x^{2} - x) {f (x)|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f^{'} (x) (x^{2} - x) d x = - \frac{1}{30} \Rightarrow \int_{0}^{1} f^{'} (x) (x^{2} - x) d x = \frac{1}{30}

.
Mà

\int_{0}^{1} {(x^{2} - x)}^{2} d x = \frac{1}{30}

\Rightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x - \int_{0}^{1} 2 f^{'} (x) (x^{2} - x) d x + \int_{0}^{1} {(x^{2} - x)}^{2} d x = 0

\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x) - (x^{2} - x)]}^{2} d x = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = x^{2} - x \Rightarrow f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + C

.
Mà

f (0) = 1

\Rightarrow C = 1

\Rightarrow f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 1

\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 1) d x = \frac{11}{12}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi