Lời giải:Tìm m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-\left| {{x}^{3}}-3x+m \right|\) trên đoạn [0; 2] bằng -3
⇔ Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x+m \right|\) trên đoạn [0; 2] bằng 3.
• Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m\) liên tục trên đoạn [0; 2]. Ta có \({f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\left( n \right) \\ & x=-1\left( l \right) \\ \end{align} \right..\)
• Suy ra GTLN và GTNN của \(f\left( x \right)\) thuộc \(\left\{ f\left( 0 \right);f\left( 1 \right);f\left( 2 \right) \right\}=\left\{ m,m-2,m+2 \right\}.\)
• Xét hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x+m \right|\) trên đoạn [0; 2] ta được giá trị lớn nhất của hàm số y là \(\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,y=\left\{ \left| m \right|,\left| m-2 \right|,\left| m+2 \right| \right\}=3.\)
- TH1: \(m\ge 0\Rightarrow \underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,y=m+2=3\Leftrightarrow m=1.\)
- TH2: \(m<0\Rightarrow \underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,y=2-m=3\Leftrightarrow m=-1.\)
• Vậy \(m\in \left\{ -1;1 \right\}\) nên tổng các phần tử của S bằng 0.
