[HH12. C1. 4. D08. d] Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ , đáy là tam giác vuông cân tại $A$ , $G$ là trọng tâm $Δ A B C,$ khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $\frac{a}{3}$ . Gọi $α$ là góc giữa mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$ . Khi thể tích khối chóp $S . A B C$ nhỏ nhất thì $\cos α$ bằng

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{2}{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

là trung điểm

. Ta có:

\{\begin{cases} B M ⊥ A M \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A M) \Rightarrow B C ⊥ A M

Góc giữa mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C)

là:

α = \hat{S M A}

B C ⊥ (S A M) \Rightarrow (S B C) ⊥ (S A M)

;

(S B C) \cap (S A M) = S M .

Kẻ

G H ⊥ S M \Rightarrow G H ⊥ (S B C)

d (G, (S B C)) = G H = \frac{a}{3} .

Xét tam giác vuông

G H M

G M = \frac{G H}{\sin α} = \frac{a}{3 \sin α} \Rightarrow A M = 3 G M = \frac{a}{\sin α} .

Do tam giác

A B C

vuông cân:

B C = 2 A M = \frac{2 a}{\sin α}

.
Xét tam giác vuông

S A M

S A = A M . \tan α = \frac{a}{\cos α}

Suy ra:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{a^{3}}{3 \sin^{2} α . \cos α} .

Thể tích khối chóp

S . A B C

nhỏ nhất khi

lớn nhất.
Đặt

x = \cos α

.
Do

0 < α < \frac{π}{2}

nên

x \in (0; 1)

.
Xét hàm số

f (x) = x (1 - x^{2})

ta có:

f^{'} (x) = 1 - 3 x^{2}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{3}

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: Thể tích khối chóp

S . A B C

nhỏ nhất khi

lớn nhất khi

\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi