[HH12. C2. 1. D02. c] Cho hình nón có chiều cao bằng $4$ . Mặt phẳng song song với trục của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện như hình vẽ, biết $Δ I A B$ đều có diện tích bằng $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

\frac{32 \sqrt{5} π}{3}

\frac{64 π}{27}

32 \sqrt{5} π

96 π

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

H

là trung điểm của

A B

ta có

I H ⊥ A B

và

O H ⊥ A B

.
Theo đề bài ta có:

h = S O = 4

S_{Δ I A B} = A B^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{4 \sqrt{3}}{3} = A B^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow A B = \frac{4 \sqrt{3}}{3}

.
Do tam giác đều

I A B

\Rightarrow I H = A B \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = 2

(I A B)

vuông góc với mặt phằng đáy, mà

A B

là giao tuyến của

(I A B)

và mặt phẳng đáy và

I H \subset (I A B)

nên

I H

vuông góc với mặt phằng đáy.
Xét

Δ S C O

có:

S O // I H

( cùng vuông góc với mặt phẳng đáy).

\Rightarrow \frac{S O}{I H} = \frac{O C}{H C} \Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{O C}{H C} \Leftrightarrow O C = 2 H C \Leftrightarrow H

là trung điểm

O C

Δ H O A

vuông tại

H

ta có:

\begin{array}{l} O A^{2} = O H^{2} + H A^{2} \\ \Rightarrow r^{2} = {(\frac{r}{2})}^{2} + {(\frac{A B}{2})}^{2} \\ \Rightarrow \frac{3}{4} r^{2} = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} \Leftrightarrow r = \frac{4}{3} . \end{array}

.
Thể tích của khối nón cần tìm là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π . {(\frac{4}{3})}^{2} . 4 = \frac{64 π}{27}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi