[HH12. C2. 1. D02. c] Cho hình nón đỉnh $S$ , tâm đường tròn đáy là $O$ và có đường kính bằng $4 a$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $S$ cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $A B = 2 \sqrt{3} a$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ . Biết khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{2 \sqrt{5}}{5} a$ . Tính thể tích khối nón.

2 a^{3} π

\frac{2 a^{3} π}{3}

\frac{2 \sqrt{13} a^{3}}{3}

\frac{4 a^{3} π}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Theo đề bài, có

R = O A = 2 a

.
Vì

D

là điểm đối xứng với

A

qua

O

nên

O

là trung điểm của

A D

\Rightarrow

\frac{d (D, (S A B))}{d (O, (S A B))} = \frac{A D}{A O} = 2 \Leftrightarrow d (O, (S A B)) = \frac{d (D, (S A B))}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}

.
Gọi

I

là trung điểm

A B

, suy ra

O I ⊥ A B

.
Mà

A B ⊥ S O

nên

A B ⊥ (S O I)

.
Kẻ

O H ⊥ S I (H \in S I) \Rightarrow O H ⊥ A B \Rightarrow O H ⊥ (S A B)

.
Do đó:

d (O, (S A B)) = O H = \frac{\sqrt{5}}{5}

.
Xét

Δ O A I : O I = \sqrt{O A^{2} - I A^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(a \sqrt{3})}^{2}} = a

.
Xét

Δ S O I : \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} \Rightarrow S O = \frac{1}{2} a

.
Thể tích khối nón:

V = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} π . {(2 a)}^{2} . \frac{1}{2} a = \frac{2 a^{3} π}{3}

(đvtt).
Phương án A, học sinh nhớ nhầm công thức không nhân

\frac{1}{3}

.
Phương án C, học sinh nhầm lẫn lấy bán kính

R = 4 a

.
Phương án D, học sinh áp dụng sai công thức

V = \frac{1}{3} . 2 π R^{2} . h

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi