[HH12. C3. 3. D09. d] Trong không gian $Ox y z$ , cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 4 - 3 t \\ y = 3 + 4 t \\ z = 0 \end{cases}$ . Gọi $A$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $d$ . Điểm $M$ di động trên tia $O z$ , điểm $N$ di động trên đường thẳng $d$ sao cho $M N = O M + A N$ . Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $OA$ . Trong trường hợp diện tích tam giác $I M N$ đạt giá trị nhỏ nhất, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(M, d)$ có tọa độ là

(4; 3; 5 \sqrt{2})

(4; 3; 10 \sqrt{2})

(4; 3; 5 \sqrt{10})

(4; 3; 10 \sqrt{10})

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

A (4 - 3 t; 3 + 4 t; 0)

là hình chiếu vuông góc của

O

trên

d

\Leftrightarrow O A ⊥ d \Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow A (4; 3; 0)

.
Trên

O z

lấy điểm

P

sao cho

O P = A N \Rightarrow M P = O M + O P = M N

và

Δ A I N = Δ O I P \Rightarrow I N = I P

Ta có

Δ I M P = Δ I M N

, kẻ

I H ⊥ M N \Rightarrow I H = I O

\Rightarrow S_{Δ I M N} = \frac{1}{2} I H . M N \Rightarrow S_{Δ I M N} \min \Leftrightarrow M N_{\min}

Ta có

M N^{2} = M O^{2} + O A^{2} + A N^{2} \geq 2 {(\frac{M O + A N}{2})}^{2} + 25 \Rightarrow M N \geq 5 \sqrt{2}

Vậy

M N_{\min} = 5 \sqrt{2} \Leftrightarrow O M = A N = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow M (0; 0; \frac{5 \sqrt{2}}{2})

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(M, d)

là

[\vec{M A}, \vec{u_{d}}] = (10 \sqrt{2}; \frac{15}{\sqrt{2}}; 25)

Chọn

\vec{n} = (4; 3; 5 \sqrt{2})

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi