Khi cắt một hình trụ bởi hai mặt phẳng cùng song song với trục. Với mặt phẳng thứ nhất cách trục một khoảng bằng $a,$ thiết diện thu được là một hình vuông. Còn mặt phẳng thứ hai cách trục một khoảng bằng $\frac{a \sqrt{6}}{2},$ thiết diện thu được là một hình chữ nhật có diện tích bằng $2 a^{2} \sqrt{2}$ . Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

\frac{4 π a^{3}}{3} .

8 π a^{3} \sqrt{3} .

4 a^{3} .

4 π a^{3} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Gọi

R

là bán kính đáy hình trụ.
Giả sử cắt bởi mặt phẳng thứ nhất được hình vuông

A B C D

; khi đó

O I = a

với

I

là trung điểm

B C

ta có

h = l = B C = 2 I B = 2 \sqrt{R^{2} - a^{2}}

.
Cắt bởi mặt phẳng thứ hai được hình chữ nhật

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

; khi đó

O K = \frac{a \sqrt{6}}{2}

với

K

là trung điểm

B^{'} C^{'}

ta có

B^{'} C^{'} = 2 K B^{'} = 2 \sqrt{R^{2} - \frac{6 a^{2}}{4}}

.
Diện tích

S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 2 \sqrt{R^{2} - a^{2}} . 2 \sqrt{R^{2} - \frac{6 a^{2}}{4}} = 4 \sqrt{R^{2} - a^{2}} . \sqrt{R^{2} - \frac{6 a^{2}}{4}} = 2 a^{2} \sqrt{2}

S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 2 \sqrt{R^{2} - a^{2}} . 2 \sqrt{R^{2} - \frac{6 a^{2}}{4}} = 4 \sqrt{R^{2} - a^{2}} . \sqrt{R^{2} - \frac{6 a^{2}}{4}} = 2 a^{2} \sqrt{2}

\Leftrightarrow 2 {(\frac{R}{a})}^{4} - 5 {(\frac{R}{a})}^{2} + 2 = 0

\Leftrightarrow {(\frac{R}{a})}^{2} = 2

hoặc

{(\frac{R}{a})}^{2} = \frac{1}{2}

(loại do

R > a

)

\Leftrightarrow R = a \sqrt{2}

.
Thể tích khối trụ là

V = π R^{2} h = 4 π a^{2}

.
*Phân tích phương án nhiễu
Chọn phương án A: Nhầm dùng công thức thể tích khối nón.
Chọn phương án B: Do học sinh giải

{(\frac{R}{a})}^{2} = \frac{1}{2}

sai ra

R = 2 a

; dẫn đến

h = 2 \sqrt{R^{2} - a^{2}} = 2 a \sqrt{3}

và tính

V = 8 π a^{3} \sqrt{3} .

Chọn phương án C: Do học sinh áp dụng công thức thể tích thiếu

π

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi