Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là $2 dm$ và $4 dm$ . Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x + 1}$ . Tính thể tích bình cắm hoa đó.

8 π d m^{2}

\frac{15 π}{2} d m^{2}

\frac{14 π}{3} d m^{3}

\frac{15 π}{2} d m^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là

2 dm

và

4 dm

nên đáy và miệng có
bán kính đáy lần lượt là

1 dm

và

2 dm

.
Ta có

\sqrt{x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0

và

\sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x = 3

.
Vậy thể tích bình hoa là:

S = π \int_{0}^{3} {(\sqrt{x + 1})}^{2} d x = \frac{15 π}{2} {dm}^{3}

.
Đã sửa thành .
Đặt hệ trục tọa độ

O x y

hình vẽ đề bài như hình bên dưới ta có phương trình của đường tròn bao quanh mảnh vườn là

x^{2} + y^{2} = 36

. Suy ra nửa đường tròn trên có phương trình

y = \sqrt{36 - x^{2}}

và nửa đường tròn dưới là

y = - \sqrt{36 - x^{2}}

. Dải đất cần trồng cây nhận

O

làm tâm đối xứng và rộng

6 m

nên

O M = O N = 3

Do đó, diện tích phần đất cần trồng cây là

S = \int_{- 3}^{3} 2 \sqrt{36 - x^{2}} d x .

Số tiền cần để trồng kín cây trên dải đất này là

70 000 \times S \approx 4 821 322

đồng. .
Cách tính

S

bằng tự luận:
Đặt

x = 6 \sin t, t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

thì

d x = 6 \cos t d t

.
Đổi cận:

x = - 3 \Rightarrow t = - \frac{π}{6}

x = 3 \Rightarrow t = \frac{π}{6}

.
Thay vào tích phân ta được

S = 2 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} t} . 6 \cos t d t = 72 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} t d t = 36 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (1 + \cos 2 t) d t

= {(36 t + 18 \sin 2 t)|}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} = 12 π + 18 \sqrt{3}

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi