Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $A B$ là $1 m$ và cách bờ $A C$ là $8 m$ , rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo . Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào 2 bờ $A B, A C$ và cây cọc $K$ .

\frac{5 \sqrt{65}}{4}

5 \sqrt{5}

9 \sqrt{2}

\frac{4 \sqrt{71}}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với

A (0, 0)

K (1, 8)

P (0, y_{0})

Q (x_{0}, 0)

Phương trình đường thẳng qua hai điểm

P

và

Q

là:

\frac{x}{x_{0}} + \frac{y}{y_{0}} = 1

Vì

K \in P Q

nên:

\frac{1}{x_{0}} + \frac{8}{y_{0}} = 1

(1)

.
Bài toán trở thành tìm

x_{0}, y_{0}

thoả sao cho

P Q = \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}

đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ

(1)

ta có:

x_{0} = \frac{y_{0}}{y_{0} - 8}

. Đặt

t = y_{0} - 8

, vì

x_{0} > 0

nên

t > 0

. Ta có:

P Q^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = {(t + 8)}^{2} + \frac{{(t + 8)}^{2}}{t^{2}} = t^{2} + \frac{8}{t} + \frac{8}{t} + 8 t + 8 t + \frac{64}{t^{2}} + 65

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

P Q^{2} \geq 3 \sqrt[3]{t^{2} \cdot \frac{8}{t} \cdot \frac{8}{t}} + 3 \sqrt[3]{8 t . 8 t . \frac{64}{t^{2}}} + 65 = 125

.
Suy ra

P Q \geq 5 \sqrt{5}

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\{\begin{cases} t^{2} = \frac{8}{t} \\ 8 t = \frac{64}{t^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow t = 2

suy ra

\{\begin{cases} x_{0} = 5 \\ y_{0} = 10 \end{cases}

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của

P Q

là

5 \sqrt{5}

.
Nhận xét:
Ý 1: Bài toán trên có thể giải hoàn toàn bằng kiến thức lớp 10 như đã nêu ở trên. Trong bối cảnh bài thi trắc nghiệm việc đánh giá bằng bất đẳng thức là không dễ dàng, học sinh có thể chọn phương pháp khảo sát hàm số:

f (x) = x^{2} + {(\frac{x}{x - 8})}^{2}

với

x \in (8; + \infty)

để tìm giá trị nhỏ nhất của

P Q

.
Ý 2: Bài toán đang cố gắng gắn với thực tế nhưng đề bài ra chưa chặt chẽ vì điều kiện của bài toán là cây sào chạm vào 2 bờ

A B

và

A C

nên cần nêu rõ chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Vì thực tế nếu chiều rộng hồ

A B = 9 m

thì giá trị nhỏ nhất của

P Q

lúc này không còn là

5 \sqrt{5} m

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Câu hỏi

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.