Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh $20 c m$ bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên. Biết một nửa trục lớn $A B = 6 c m$ , trục bé $C D = 8 c m$ . Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng

400 - 48 π

(c m^{2})

400 - 96 π

(c m^{2})

400 - 24 π

(c m^{2})

400 - 36 π

(c m^{2})

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Chứng minh: Công thức tính diện tích elip

(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

.
Gọi

S_{1}

là diện tích của elip nằm ở góc phần tư thứ nhất

\Rightarrow

S_{1} = \int_{0}^{a} b \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x

.
Đặt

\frac{x}{a} = \sin t

\Rightarrow

d x = a \cos t d t

; Đổi cận

x = 0

\Rightarrow

t = 0

x = a

\Rightarrow

t = \frac{π}{2}

.
Suy ra

S_{1} = b \int_{0}^{\frac{π}{2}} a \sqrt{1 - \sin^{2} t} \cos t d t = a b \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = \frac{a b}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 t) d t = \frac{a b}{2} {(t + \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π a b}{4}

.
Vậy

S_{e l i p} = 4 S_{1} = π a b

.
Áp dụng: Diện tích của nửa elip có độ dài một nửa trục lớn

A B = 6 c m

, trục bé

C D = 8 c m

là

\frac{1}{2} π . 6. 4 = 12 π

(c m^{2})

.
Diện tích bề mặt hoa văn đó là

S = S_{h i n h_v u o n g} - 4 S_{n u a_e l i p} = 20^{2} - 4. 12 π = 400 - 48 π

(c m^{2})

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi