[ Mức 3] Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ , $A B = a$ , $B C = 2 a$ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh $A^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm $H$ của cạnh $A C$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(B C B^{'} C^{'})$ và $(A B C)$ bằng $60^{°}$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

\frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{4}

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{8}

\frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{8}

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{16}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Dựng

H K ⊥ B C

tại

K

A' F ⊥ B' C'

tại

F

A E ⊥ B C

tại

E

.
Gọi

N

là trung điểm

A^{'} F

.
Ta có:

H K = \frac{1}{2} A E

nên

H K = \frac{1}{2} A^{'} F = A^{'} N

\Rightarrow A^{'} H K N

là hình chữ nhật.
Ta có:

B C ⊥ (A^{'} H K)

và

B C ⊥ A^{'} F

nên

A^{'} F \subset (A^{'} H K)

((B C B^{'} C^{'}); (A B C)) = (H K; K F)

.
Từ giả thiết ta có:

\hat{H K F} = 120^{o}

\Rightarrow \hat{N K F} = 30^{o}

.
Ta có:

A C = a \sqrt{3}

\Rightarrow A E = \frac{a \sqrt{3}}{2}

\Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{3}}{4}

.
Suy ra

A^{'} H = N K = N F . \tan \hat{N K F} = H K . \tan \hat{N K F} = \frac{3 a}{4}

.
Diện tích tam giác

A B C

là

S_{A B C} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Thể tích lăng trụ

V = A^{'} H . S_{A B C} = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi