[ Mức độ 2] Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $f (x) + f (- x) = 2 \cos 2 x, \forall x \in ℝ$ . Khi đó $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

- 2

4

2

0

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Với

f (x) + f (- x) = 2 \cos 2 x, \forall x \in ℝ

\Rightarrow \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (f (x) + f (- x)) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos 2 x d x \Leftrightarrow \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos 2 x d x

(*)
Tính

I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x

Đặt

t = - x \Rightarrow d t = - d x \Rightarrow d x = - d t

.
Đổi cận:

x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = - \frac{π}{2}

;

x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{2}

.
Khi đó

I = - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} f (t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

.
Từ (*), ta được:

2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos 2 x d x = {\sin 2 x|}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = 0

\Rightarrow \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = 0

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi