[Mức độ 2] Với mỗi số $k > 0$ , đặt $I_{k} = \int_{- \sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \sqrt{k - x^{2}} d x$ . Khi đó $I_{1} + I_{2} + I_{3} + . . . + I_{12}$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

650 π

39 π

325 π

78 π

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Cách 1:
Đặt

x = \sqrt{k} \sin t, t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] \Rightarrow d x = \sqrt{k} \cos t d t

Đổi cận:

x = - \sqrt{k} \Rightarrow t = - \frac{π}{2}, x = \sqrt{k} \Rightarrow t = \frac{π}{2}

I_{k} = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{k (1 - \sin^{2} t)} \sqrt{k} \cos t d t = k \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} |\cos t| \cos t d t = k \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = \frac{k}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 t) d t

= \frac{k}{2} (t + \frac{\sin 2 t}{2}) |\begin{matrix} \frac{π}{2} \\ - \frac{π}{2} \end{matrix} = \frac{k π}{2}

Vậy

\sum_{k = 1}^{12} \frac{k π}{2} = \frac{π}{2} (1 + 2 + 3 + . . . + 12) = \frac{π}{2} (\frac{12. 13}{2}) = 39 π

Cách 2:

y = \sqrt{k - x^{2}}

là nửa đường tròn phía trên Ox, có bán kính

\sqrt{k}

I_{1} + I_{2} + I_{3} + . . . + I_{12}

\sum_{k = 1}^{12} \frac{1}{2} π k = \frac{1}{2} π (1 + 2 + 3 + . . . + 12) = \frac{1}{2} π (\frac{12. 13}{2}) = 39 π

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi