[ Mức độ 3] Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . $M$ là trung điểm $C D$ , $N$ là điểm trên cạnh $A^{'} D^{'}$ sao cho $3 A^{'} N = 2 D^{'} N$ . Mặt phẳng $(B M N)$ chia khối hộp thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_{1}, V_{2}$ thỏa mãn $V_{1} < V_{2}$ . Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng:

\frac{3}{5}

\frac{289}{511}

\frac{222}{511}

\frac{222}{289}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải

Gọi

E = B M \cap A D, E N \cap D D^{'} = F, E N \cap A' A = G, G B \cap A^{'} B^{'} = H

.
Thiết diện của

(B M N)

và hình hộp là ngũ giác

B M F N H

(B M N)

chia khối hộp thành 2 phần là

A B M D F N A^{'} H A

có thể tích

V_{1}

và phần còn lại có thể tích

V_{2}

.
Ta có

B C / / D E \Rightarrow \frac{B M}{M E} = \frac{B C}{D E} = \frac{M C}{M D} = 1 \Rightarrow

M

là trung điểm

B E

và

D

là trung điểm

A E

Δ A E G

có

D

là trung điểm

A E, D F / / A G \Rightarrow F

là trung điểm

G E

3 A^{'} N = 2 D^{'} N \Rightarrow \frac{A^{'} N}{A^{'} D^{'}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{A^{'} N}{A E} = \frac{1}{5}

Ta có:

\frac{G N}{G E} = \frac{G A^{'}}{G A} = \frac{G H}{G B} = \frac{1}{5}

(định lý Ta-let vì

A^{'} N / / A E, A^{'} H / / A B

)

\begin{array}{l} \frac{V_{E D M F}}{V_{E A B G}} = \frac{E M}{E B} . \frac{E D}{E A} . \frac{E F}{E G} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \\ \frac{V_{G A^{'} H N}}{V_{G A B E}} = \frac{G N}{G E} . \frac{G A^{'}}{G A} . \frac{G H}{G B} = \frac{1}{5} . \frac{1}{5} . \frac{1}{5} = \frac{1}{125} \end{array}

V_{1} = V_{E A G B} - (V_{E D M F} + V_{G A^{'} H N}) = (1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{125}) V_{E A G B} = \frac{867}{1000} V_{E A G B}

S_{A B C D} = S_{E A B}, d_{(G, (A B C D))} = \frac{5}{4} d_{(A^{'}, (A B C D))} \Rightarrow V_{G E A B} = \frac{1}{3} . \frac{5}{4} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{5}{12} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}

\begin{array}{l} \Rightarrow V_{1} = \frac{867}{1000} . \frac{5}{12} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{289}{800} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} \\ \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{289}{511} \end{array}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi