[Mức độ 3] Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường cong $(C)$ : $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$ và hai điểm $A (- \sqrt{2}; 0)$ , $B (\sqrt{2}; 0)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm trên $(C)$ mà tổng khoảng cách từ điểm đó đến các điểm $A$ và $B$ bằng $2 \sqrt{6}$ ?

A.3.

B.7.

C.6.

D.1.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Gọi điểm

M

là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

\Rightarrow M A + M B = 2 \sqrt{6}

\Rightarrow M

nằm trên Elip

(E)

có hai tiêu điểm là

A (- \sqrt{2}; 0)

B (\sqrt{2}; 0)

.
Gọi phương trình Elip

(E)

đó là:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

.
Trong đó:

2 a = 2 \sqrt{6} \Rightarrow a = \sqrt{6}; c = \sqrt{2}

.
Mà:

a^{2} = b^{2} + c^{2}

\Rightarrow b = 2

.
Nên

(E)

có phương trình là :

\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1

.
Ta có

M = (C) \cap (E)

\Rightarrow

hoành độ của điểm

M

là nghiệm của phương trình:

\frac{x^{2}}{6} + \frac{{(x^{4} - 4 x^{2} + 2)}^{2}}{4} = 1

(*)
Đặt:

t = x^{2} \geq 0

, ta được phương trình:

\frac{t}{6} + \frac{{(t^{2} - 4 t + 2)}^{2}}{4} = 1

\Leftrightarrow 3 t^{4} - 24 t^{3} + 60 t^{2} - 46 t = 0

\Leftrightarrow t (3 t^{3} - 24 t^{2} + 60 t - 46) = 0

\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 0 \\ t \approx 1, 5 \\ t \approx 2, 7 \\ t \approx 3, 8 \end{matrix}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi