[Mức độ 4] Cho $x, y, z$ là các số thực không âm thỏa $2^{x} + 2^{y} + 2^{z} = 4$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + y + z$ ?

4

3

2

1

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Với

x, y, z

là các số thực không âm, nên:

4 = 2^{x} + 2^{y} + 2^{z} \geq 2^{x} + 2 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 1

.
Tương tự:

y, z \in [0; 1]

.
Ta chứng minh:

2^{t} \leq t + 1, \forall t \in [0; 1]

.
Xét hàm số

f (t) = 2^{t} - t - 1, \forall t \in [0; 1]

f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 - 1

f^{″} (t) = 2^{t} \ln^{2} 2 > 0

\Rightarrow f^{'} (t)

đồng biến.

\Rightarrow f^{'} (t) = 0

có nhiều nhất 1 nghiệm. Do đó

f (t) = 0

có nhiều nhất 2 nghiệm.
Mặt khác:

f (0) = f (1) = 0

nên

f (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 1 \end{array}

.
Bảng xét dấu:

Suy ra

f (t) \leq 0, \forall t \in [0; 1]

hay

2^{t} \leq t + 1, \forall t \in [0; 1]

(*)
Áp dụng (*), ta được:

\{\begin{cases} 2^{x} \leq x + 1 \\ 2^{y} \leq y + 1 \\ 2^{z} \leq z + 1 \end{cases} \Rightarrow P = x + y + z \geq 2^{x} + 2^{y} + 2^{z} - 3 = 1

\Rightarrow min P = 1

, đạt được khi

\{\begin{cases} 2^{x} = x + 1 \\ 2^{y} = y + 1 \\ 2^{z} = z + 1 \\ 2^{x} + 2^{y} + 2^{z} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow (x, y, z) = (0; 0; 1)

và các hoán vị.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi