[Mức độ 4] Tập tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hệ bất phương trình:
$\{\begin{cases} \frac{3 x + 11}{x^{2} + 1} \geq 1 (1) \\ m x + m - 2 > 0 (2) \end{cases}$ có nghiệm, có dạng $(- \infty; a) \cup (b; + \infty)$ . Giá trị của $S = a + 6 b$ bằng

A. $0$ .

1

3

5

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải: Lời giải
Chọn A
Vì

x^{2} + 1 > 0

nên, bất phương trình

(1)

\Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 10 \leq 0 \Leftrightarrow

(x + 2) (x - 5) \leq 0

\Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 5

(3)

.
 Trường hợp 1: $m = 0$ , bất phương trình

(2)

vô nghiệm nên hệ bất phương trình vô nghiệm.
 Trường hợp 2: $m > 0$ , bất phương trình

(2)

có nghiệm

x > \frac{2 - m}{m}

, hay

x > \frac{2}{m} - 1

.
Do

m > 0

nên

x > \frac{2}{m} - 1 > - 1 > - 2

.
Nếu

\frac{2}{m} - 1 \geq 5

\Rightarrow x > 5

, không thỏa mãn

(3)

, nên hệ đã cho vô nghiệm.
Nếu

\frac{2}{m} - 1 < 5,

hay

m > \frac{1}{3}

, hệ đã cho có nghiệm

\frac{2}{m} - 1 < x \leq 5

 Trường hợp 3:

m < 0

, bất phương trình

(2)

có nghiệm

x < \frac{2}{m} - 1

(4)

.
Nếu

\frac{2}{m} - 1 \leq - 2

\Rightarrow x < - 2

, không thỏa mãn

(3)

, nên hệ đã cho vô nghiệm.
Nếu

\frac{2}{m} - 1 > - 2

, hay

m < - 2

, kết hợp với

(4)

thì hệ đã cho có nghiệm

- 2 < x < \frac{2}{m} - 1

, vì

\frac{2}{m} - 1 < 5

.
Kết luận: Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

m \in (- \infty; - 2) \cup (\frac{1}{3}; + \infty)

. Từ đó

S = 0

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi